概率基础 - webdancer's Blog

概率基础

webdancer posted @ 2012年11月17日 18:50 in machine learning with tags Machine learning probability , 3742 阅读

在模式识别领域中,我们遇到的一个很关键的问题就是不确定性。概率论为我们解决这种不确定性提供了一个系统的框架。在得到了相关变量的概率信息后,我们需要用决策论的相关知识做出最优的判断。也就是说,我们将模式识别的过程分为了两个阶段,第一个阶段就是推理(inference),得到相关的概率;第二阶段使用决策论知识做出最优的判断。下面就是概率论和决策论要用到的知识。

概率

概率论就是研究不确定现象的数学。概率是对随机事件发生可能性的度量。对于概率的基础知识我们在大学本科阶段都有学习,这里简单的回顾一下相关的知识。
概率的定义:
 如果一个函数$p:S\to\mathbb{R}, A\to p(A)$指定给每一个事件空间$S$中的事件$A$一个实数$P(A)$,满足以下三条公理:
 $$0<=p(a)<=1;$$ $$P(S)=1;$$$$P(A\cup B)=P(A)+P(B),if P(A\cap B)=0.$$
 那么函数$P$叫做概率函数,相应的$P(A)$就是事件$A$的概率。
在概率论中,随机变量的定义很重要。简单的说,随机变量就是可能样本输出空间的一个函数。随机变量与其他的数学变量不同,它的取值不是固定的,有多种可能。随机变量有离散的和连续的两种基本类型。
下面这三个定理是进行概率运算的基石,对我们以后的概率分析有非常重要的作用。概率的推断可以根据定律进行算术运算。
加法定理:$$p(X)=\sum_Yp(X,Y);$$
乘法定律: $$p(X,Y)=p(X)p(Y|X);$$
可以进行推广:
$$p(X_1,X_2,..,X_n)=p(X_1)p(X_2|X_1)p(X_3|X_1,X_2)...p(X_n|X_1,X_2,...,X_{n-1});$$
贝叶斯定理:  $$ p(H|E)=\frac{p(H)p(E|H)}{p(E)}$$
其中$p(H|E)$表示在E发生情况下,H发生的概率,是一个条件概率。贝叶斯主义者和频率主义者对这个定理有不同的解释,在贝叶斯主义者看来,概率代表的是信任度,贝叶斯定理解释了在一个命题中,在考虑了证据后对信任度的影响;而频率主义者看来,概率代表了事件发生的个数与事件空间总的数目的比值,贝叶斯定理描述了特定事件概率值之间的关系。在贝叶斯解释中,$p(H)$表示的是先验概率(prior),$H$初始的信任度;$p(E|H)$表示似然函数;$p(H|E)$表示的是后验概率(poster),考虑了$E$后的信任度;$p(E)$表示边缘似然,或是称为模型置信度;这个因子对于所有假设都是一样的,可以不用考虑;根据上面的贝叶斯定理,在贝叶斯推断中,我们可以根据先验概率和似然函数,求出后验概率;得出后验概率可以作为下面继续推断的先验概率。上面的贝叶斯概率解释在PRML里面,从始至终都在使用,所以这个理论的基础知识还是必须知道的。由于在实际的使用中,E的概率对于我们的模型没有影响,我们可以省略掉,所以贝叶斯定理也可以表示为:
$$posterior \propto likelihood \times prior $$
这在PRML概率计算后验概率时,非常常用,对于我们理解很有帮助。

概率分布

了解了概率的基本知识以后,了解常见的概率分布是必要的。随机变量有两种:离散型和连续型,所以概率分布也有两种基本类型,离散概率分布和连续概率分布。概率质量函数(probability mass function, pmf)用来描述离散分布;而概率密度函数(probability density function, pdf)用来描述连续分布;两者非常的不同,在pmf中,每个变量x的pmf(x)都对应一个概率值,即x事件发生的概率;在pdf中,每个变量的对应取值不是概率,只有通过积分,才能得到概率。
下面分别看一下,离散概率分布和连续概率分布的例子,离散概率分布我们看一下Bernoulli distribution,连续概率分布看一下guassian distribution。
Bernoulli distribution:$$Pr(x=1)=1-Pr(x=0)$$
对于像Bernoulli distribution这样的离散分布,可以通过枚举的方式列出概率分布,如下:
X 0 1
P(X) $\mu$ $1-\mu$
guassian distribution: $$\mathcal N(x|\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
其中,$\mu$是均值,$\sigma$是标准差(其中$\sigma^2$是方差)。
 
 
在分布中,根据的概率定理,可以推导出边缘分布,条件分布等,可以参考具体的书籍。

期望与方差

对于离散随机变量与连续的随机变量来说,期望与方差的求法不同,
期望 :
$$\mathbf E(X)=\sum_{x\in var(X)}xp(x)$$
$$\mathbf E(X)=\int_{x\in var(X)}xf(x)$$
方差:
$$Var(X)=\mathbf ((X-\mathbf E(X))^2)$$
期望和方差也有许多的性质,用到的时候找书

Inference

决策论是一个交叉的学科,他教人们如何决策,来达到最优效果。在这里我们只关注和机器学习相关的一点知识。在这里我们接触到的一个非常重要的概念就是:loss function。这在后面我们的线性分类和回归模型中都有用到。loss function用来测量我们在做出某一个决策时发生的损失。例如:一个输入变量$x$,它输入$C_k$类,我们的决策却将其分在了$C_j$类,这时我们就说发生了损失,不妨用$L_{kj}$来表示。设$x,C_k$的联合概率用$p(x,C_k)$来表示,则loss function的期望就是:
$$\mathbb E(L)=\sum_k\sum_j\int_{R_j}L_{kj}p(x,C_k)dx$$
上面就是分类的loss function,我们的目的就是最小化这个函数。
在分类问题中,我们一般采用三种方式解决,
  1. 判别函数。直接由训练集合的好一个函数$f(x)$,用来对新的输入做判断。
  2. 概率生成模型。由训练集得到$p(x|C_j),p(C_j)$,然后利用贝叶斯定理得到后验概率$p(C_j|x)$,在根据后验做最优判断。
  3. 概率判别模型。直接由训练集合得到后验概率$p(C_j|x)$,然后用它来做最优判断。

可以看出,后验概率$p(C_j|x)$,非常重要,在实际的判别中起到重要作用。具体的推断方法有:

  1. 最大似然估计:最大似然估计会寻找关于的最可能的值(即在所有可能的取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。等价于优化最小平方和误差函数。实际应用中一般会取似然函数的对数作为求最大值的函数,这样求出的最大值和直接求最大值得到的结果是相同的。似然函数的最大值不一定唯一,也不一定存在,公式如下:$$argmax_Hp(E|H)$$
  2. 最大后验估计:最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。它与最大似然估计中的经典方法有密切关系,但是它使用了一个增大的优化目标,这种方法将被估计量的先验分布融合到其中。所以最大后验估计可以看作是规则化(regularization)的最大似然估计。$$argmax_Hp(E|H)p(H)$$最大后验估计可以用以下几种方法计算:(1)解析方法,当后验分布的模能够用 closed form 方式表示的时候用这种方法。当使用conjugate prior 的时候就是这种情况。(2)通过如共扼积分法或者牛顿法这样的数值优化方法进行,这通常需要一阶或者导数,导数需要通过解析或者数值方法得到。(3)通过期望最大化算法的修改实现,这种方法不需要后验密度的导数。尽管使用了先验知识,但是MAP通常不被认为是一种贝叶斯估计,因为它实际还是一种点估计,而贝叶斯使用这些分布来总结数据、得到推论。Bayesian 方法试图算出后验均值或者中值以及posterior interval,而不是后验模。MAP相当于在平方和误差函数的基础上,增加一个正则化项。

总结

概率论在机器学习和模式识别中有基础性的作用,现在的机器学习算法基本都构建在概率论的基础上的。这是因为在这些研究中,我们常常遇到的一个难题就是应对不确定性。面对这些不确定性,概率论为我们提供了一个完整的框架。比如:在图像标注问题中,一张X照,让分类器做正常还是不正常的分类,我们经常做的就是利用概率知识,来推断后验概率模型,然后在用它来做最优的判断。得到概率知识后,使用决策论就可以作最优化决策。
现在的知识储备还是不行,大学里面学的都是经典的概率论,关于贝叶斯观点的概率根本就没有介绍。但是在PRML这本书里面将贝叶斯作为了一个主轴,有时间必须好好看看《概率论沉思录》,使用R语言玩玩也不错呀。
这里还有几个问题没有解决呀。像random vector,概率到底是怎么用到模型中去的,还有点模糊。
 
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scturtle 说:
2012年11月17日 21:35

期望的公式加个 \cdot 就好看了,estimate 和 estimator 总是搞混啊,楼主可否也讲一下

Sakshi Epaper Today 说:
2022年11月09日 02:10

Sakshi e-paper is a famous Telugu language daily newspaper; the paper feature a lot of beneficial news thus have lots of readers. Sakshi Epaper Today PDF Download Its embraced by the audience from Telangana and Andhra Pradesh (AP) and officially published by Jagathi publications while the editor of the newspaper is Murali V. Sakshi. The e-paper was established on 24th March 2008 and has over the years provide genuine information educating young and old citizens in general.


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