概率基础 - webdancer's Blog
概率基础
webdancer
posted @ 2012年11月17日 18:50
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Machine learning probability
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在模式识别领域中，我们遇到的一个很关键的问题就是不确定性。概率论为我们解决这种不确定性提供了一个系统的框架。在得到了相关变量的概率信息后，我们需要用决策论的相关知识做出最优的判断。也就是说，我们将模式识别的过程分为了两个阶段，第一个阶段就是推理(inference),得到相关的概率；第二阶段使用决策论知识做出最优的判断。下面就是概率论和决策论要用到的知识。
概率
概率论就是研究不确定现象的数学。概率是对随机事件发生可能性的度量。对于概率的基础知识我们在大学本科阶段都有学习，这里简单的回顾一下相关的知识。
概率的定义：
如果一个函数$p:S\to\mathbb{R}, A\to p(A)$指定给每一个事件空间$S$中的事件$A$一个实数$P(A)$,满足以下三条公理:
$$0<=p(a)<=1;$$ $$P(S)=1;$$$$P(A\cup B)=P(A)+P(B),if P(A\cap B)=0.$$
那么函数$P$叫做概率函数，相应的$P(A)$就是事件$A$的概率。
在概率论中，随机变量的定义很重要。简单的说，随机变量就是可能样本输出空间的一个函数。随机变量与其他的数学变量不同，它的取值不是固定的，有多种可能。随机变量有离散的和连续的两种基本类型。
下面这三个定理是进行概率运算的基石，对我们以后的概率分析有非常重要的作用。概率的推断可以根据定律进行算术运算。
加法定理：$$p(X)=\sum_Yp(X,Y);$$
乘法定律： $$p(X,Y)=p(X)p(Y|X);$$
可以进行推广：
$$p(X_1,X_2,..,X_n)=p(X_1)p(X_2|X_1)p(X_3|X_1,X_2)...p(X_n|X_1,X_2,...,X_{n-1});$$
贝叶斯定理: $$ p(H|E)=\frac{p(H)p(E|H)}{p(E)}$$
其中$p(H|E)$表示在E发生情况下，H发生的概率，是一个条件概率。贝叶斯主义者和频率主义者对这个定理有不同的解释，在贝叶斯主义者看来，概率代表的是信任度，贝叶斯定理解释了在一个命题中，在考虑了证据后对信任度的影响；而频率主义者看来，概率代表了事件发生的个数与事件空间总的数目的比值，贝叶斯定理描述了特定事件概率值之间的关系。在贝叶斯解释中，$p(H)$表示的是先验概率(prior)，$H$初始的信任度;$p(E|H)$表示似然函数;$p(H|E)$表示的是后验概率(poster)，考虑了$E$后的信任度;$p(E)$表示边缘似然，或是称为模型置信度；这个因子对于所有假设都是一样的，可以不用考虑；根据上面的贝叶斯定理，在贝叶斯推断中，我们可以根据先验概率和似然函数，求出后验概率；得出后验概率可以作为下面继续推断的先验概率。上面的贝叶斯概率解释在PRML里面，从始至终都在使用，所以这个理论的基础知识还是必须知道的。由于在实际的使用中，E的概率对于我们的模型没有影响，我们可以省略掉，所以贝叶斯定理也可以表示为：
$$posterior \propto likelihood \times prior $$
这在PRML概率计算后验概率时，非常常用，对于我们理解很有帮助。
概率分布
了解了概率的基本知识以后，了解常见的概率分布是必要的。随机变量有两种：离散型和连续型,所以概率分布也有两种基本类型，离散概率分布和连续概率分布。概率质量函数(probability mass function, pmf)用来描述离散分布；而概率密度函数(probability density function, pdf)用来描述连续分布；两者非常的不同，在pmf中，每个变量x的pmf(x)都对应一个概率值，即x事件发生的概率；在pdf中，每个变量的对应取值不是概率，只有通过积分，才能得到概率。
下面分别看一下，离散概率分布和连续概率分布的例子，离散概率分布我们看一下Bernoulli distribution,连续概率分布看一下guassian distribution。
Bernoulli distribution:$$Pr(x=1)=1-Pr(x=0)$$
对于像Bernoulli distribution这样的离散分布，可以通过枚举的方式列出概率分布，如下：
| X | 0 | 1 |
| P(X) | $\mu$ | $1-\mu$ |
guassian distribution: $$\mathcal N(x|\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
其中，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差(其中$\sigma^2$是方差)。
在分布中，根据的概率定理，可以推导出边缘分布，条件分布等，可以参考具体的书籍。
期望与方差
对于离散随机变量与连续的随机变量来说，期望与方差的求法不同，
期望 ：
$$\mathbf E(X)=\sum_{x\in var(X)}xp(x)$$
$$\mathbf E(X)=\int_{x\in var(X)}xf(x)$$
方差：
$$Var(X)=\mathbf ((X-\mathbf E(X))^2)$$
期望和方差也有许多的性质，用到的时候找书
Inference
决策论是一个交叉的学科，他教人们如何决策，来达到最优效果。在这里我们只关注和机器学习相关的一点知识。在这里我们接触到的一个非常重要的概念就是：loss function。这在后面我们的线性分类和回归模型中都有用到。loss function用来测量我们在做出某一个决策时发生的损失。例如：一个输入变量$x$,它输入$C_k$类，我们的决策却将其分在了$C_j$类，这时我们就说发生了损失，不妨用$L_{kj}$来表示。设$x,C_k$的联合概率用$p(x,C_k)$来表示，则loss function的期望就是：
$$\mathbb E(L)=\sum_k\sum_j\int_{R_j}L_{kj}p(x,C_k)dx$$
上面就是分类的loss function，我们的目的就是最小化这个函数。
在分类问题中，我们一般采用三种方式解决，
- 判别函数。直接由训练集合的好一个函数$f(x)$，用来对新的输入做判断。
- 概率生成模型。由训练集得到$p(x|C_j),p(C_j)$,然后利用贝叶斯定理得到后验概率$p(C_j|x)$,在根据后验做最优判断。
- 概率判别模型。直接由训练集合得到后验概率$p(C_j|x)$，然后用它来做最优判断。
可以看出，后验概率$p(C_j|x)$，非常重要，在实际的判别中起到重要作用。具体的推断方法有：
- 最大似然估计：最大似然估计会寻找关于的最可能的值（即在所有可能的取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。等价于优化最小平方和误差函数。实际应用中一般会取似然函数的对数作为求最大值的函数，这样求出的最大值和直接求最大值得到的结果是相同的。似然函数的最大值不一定唯一，也不一定存在,公式如下：$$argmax_Hp(E|H)$$
- 最大后验估计：最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。它与最大似然估计中的经典方法有密切关系，但是它使用了一个增大的优化目标，这种方法将被估计量的先验分布融合到其中。所以最大后验估计可以看作是规则化（regularization）的最大似然估计。$$argmax_Hp(E|H)p(H)$$最大后验估计可以用以下几种方法计算：(1)解析方法，当后验分布的模能够用 closed form 方式表示的时候用这种方法。当使用conjugate prior 的时候就是这种情况。(2)通过如共扼积分法或者牛顿法这样的数值优化方法进行，这通常需要一阶或者导数，导数需要通过解析或者数值方法得到。(3)通过期望最大化算法的修改实现，这种方法不需要后验密度的导数。尽管使用了先验知识，但是MAP通常不被认为是一种贝叶斯估计，因为它实际还是一种点估计，而贝叶斯使用这些分布来总结数据、得到推论。Bayesian 方法试图算出后验均值或者中值以及posterior interval，而不是后验模。MAP相当于在平方和误差函数的基础上，增加一个正则化项。
总结
概率论在机器学习和模式识别中有基础性的作用，现在的机器学习算法基本都构建在概率论的基础上的。这是因为在这些研究中，我们常常遇到的一个难题就是应对不确定性。面对这些不确定性，概率论为我们提供了一个完整的框架。比如：在图像标注问题中，一张X照，让分类器做正常还是不正常的分类，我们经常做的就是利用概率知识，来推断后验概率模型，然后在用它来做最优的判断。得到概率知识后，使用决策论就可以作最优化决策。
现在的知识储备还是不行，大学里面学的都是经典的概率论，关于贝叶斯观点的概率根本就没有介绍。但是在PRML这本书里面将贝叶斯作为了一个主轴，有时间必须好好看看《概率论沉思录》,使用R语言玩玩也不错呀。
这里还有几个问题没有解决呀。像random vector,概率到底是怎么用到模型中去的，还有点模糊。
2012年11月17日 21:35
期望的公式加个 \cdot 就好看了，estimate 和 estimator 总是搞混啊，楼主可否也讲一下
2022年11月09日 02:10
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